10 ejemplos divertidos de la teoría de números recreativos

A los matemáticos les gusta clasificar y organizar los números en todo tipo de formas. Los números naturales se utilizan para contar y ordenar; los números nominales se utilizan para nombrar (como un número de licencia de conducir); los enteros son números que pueden expresarse sin una fracción o decimal; Los números primos solo pueden dividirse por 1 y por sí mismos; y así. Pero no hay límite en cómo podemos entender y usar los números; en consecuencia, existe una rama de las matemáticas puras, basada principalmente en el estudio de los enteros, llamada "teoría de los números". Aunque ahora entendemos que la teoría de los números tiene aplicaciones, usos y propósitos ilimitados, puede parecer frívola hasta el punto de inutilidad - especialmente el subconjunto conocido como "teoría de números recreativos". El teórico de los números Leonard Dickson dijo una vez, después de todo, "gracias a Dios que la aplicación de la teoría de los números no se mancha".

Pero eso no significa que no proporcione una medida de diversión nerd para aquellos que lo desean. ¡Sigue leyendo para saber qué hace que un número sea "interesante", "extraño", "feliz", "narcisista", "perfecto" y mucho más!

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Números amistosos

Ah, números amistosos. Se aman tanto ¿Cuánto cuesta? Bueno, tomemos un par clásico 284 y 220 y veamos cuán amables son. Tomemos todos los divisores apropiados de 220 (es decir, todos sus divisores que no dejan ningún resto, incluido el número 1 y excluyendo el número en sí) y todos ellos:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Ahora, tomemos 284 y hagamos lo mismo:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: un par de números amistosos. Otros pares incluyen (1184, 1210), (2620, 2924) y (5020, 5564). Este tipo de pares de números fue descubierto y estudiado por los pitagóricos, y ha sido objeto de mucha investigación a lo largo de los siglos: Fermat, Descartes, el iraní Muhammad Baqir Yazdi y el iraquí Th? Bit ibn Qurra se encuentran entre los muchos matemáticos que han investigado El mundo de los números amistosos. Los temas de estudio adicional incluyen intentos de descubrir si hay una cantidad infinita de pares, discernir patrones y entender mejor por qué y cómo sucede esto.

Debido a que los matemáticos nunca se conformarían con meros números amistosos, los "números comprometidos" son pares donde la suma de los divisores apropiados de cada número es igual al otro número +1.

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Emirp

"Emirp" es la palabra "primo" escrita al revés, y se refiere a un número primo que se convierte en un nuevo número primo cuando invierte sus dígitos. Los Emirps no incluyen primos palindrómicos (como 151 o 787), ni primos de 1 dígito como 7. Los primeros emirps son 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 y 157. - Inviértalos y tendrá un nuevo número primo en sus manos.

En su mayoría, decir "emirp" una y otra vez es una especie de explosión. ¡Darle un giro!

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Números interesantes

Hay una vieja paradoja en el mundo de las matemáticas que se conoce como la "paradoja del número interesante". En pocas palabras, si sigues contando números naturales, eventualmente encontrarás uno que no sea interesante; donde se vuelve paradójico es que, en virtud de ser el número sin interés más pequeño, ese número ahora se ha vuelto interesante.

Por supuesto, todo esto es subjetivo, ya que se basa en una vaga definición de la palabra "interesante". En términos generales, un número se considera interesante si tiene algún tipo de calidad matemática que lo distingue; 19 es interesante porque es primordial, 999 es interesante porque es un palíndromo (y la versión del Reino Unido del 911); 24 es interesante porque (entre otras razones) es el mayor número divisible por todos los números menores que su raíz cuadrada. Matemáticos

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Números poderosos

Aquiles era un poderoso héroe de la guerra de Troya que era extremadamente poderoso pero tenía un defecto: su talón de Aquiles. Como él, los números de Aquiles son poderosos pero no perfectos.

Entonces, comencemos con un número poderoso. Un número se considera poderoso si todos sus factores primos siguen siendo factores una vez que están al cuadrado. 25 es un número poderoso porque su factor primordial, 5, sigue siendo un factor una vez que se ha cuadrado (25, que llega a 25 una vez). Ahora pasemos a las potencias perfectas, número que puede expresarse como una potencia entera de otro entero; 8 es una potencia perfecta, ya que es de 2 cubos.

Así que ahora, volviendo a la premisa original: los números de Aquiles son poderosos, pero no son poderes perfectos. 72 es el primer número de Aquiles, ya que es poderoso, pero no es un primo perfecto. Otros incluyen 108, 200, 288, 392, 432, 500 y 648.

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Números extraños

¿Qué son los números extraños? Para entenderlos, primero debemos comenzar con números "abundantes". Los números abundantes, también conocidos como "excesivos", son más grandes que la suma de sus divisores apropiados. 12, por ejemplo, es el primer número abundante (el más pequeño); la suma de sus divisores propios, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, es 16. 12, por lo tanto, tiene una “abundancia” de 4, la cantidad por la cual La suma de sus divisores supera el número. Hay muchos números incluso abundantes, pero no llegamos a uno impar hasta el número 945.

Algunos números abundantes son "semiperfectos" o "pseudoperfectos", lo que significa que son iguales a todos o solo a algunos de sus divisores apropiados. 12 es un número abundante imperfecto porque algunos de sus divisores se pueden sumar para formar 12.

Por fin, llegamos a números extraños. Un número es raro si es abundante pero NO semiperfecto; en otras palabras, la suma de sus divisores es mayor que el número en sí, pero ningún subconjunto de sumas de divisor es igual al número. Los números extraños son infrecuentes: los primeros son 70, 836, 4,030 y 5,830.

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Números intocables

Mientras que los números extraños no son iguales a la suma de cualquiera de sus divisores, los números intocables lo llevan un paso más allá. Para que un número sea intocable, no debe ser igual a la suma de los divisores apropiados de CUALQUIER número. Algunos intocables son 2, 5, 52 y 88; de hecho, se cree que 5 es el único número imparable e intocable en existencia (aunque no se ha demostrado formalmente). Hay un número infinito de números intocables, lo que significa que no existe tal cosa como el más grande.

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Números perfectos

Entonces, habiendo discutido lo extraño y lo intocable, es hora de verificar con el abuelo de todos los números relacionados con el divisor: los números perfectos. Un número perfecto es uno que es exactamente igual a la suma de sus divisores apropiados (nuevamente, excluyéndose a sí mismo). El primer número perfecto es 6, ya que sus divisores (1, 2, 3) todos hasta 6. Seis es seguido por 28, 496 y 8,128. Los primeros matemáticos griegos solo conocían estos primeros 4 números perfectos; Nichomatus descubrió 8,128 para el año A.D. 100. Se descubrieron tres más, la primera alrededor de 1456 (33,550,336) por un matemático desconocido, y en 1588 (8,589,869,056 y 137,438,691,328) por el matemático italiano Pietro Cataldi en 1588.

Todos los números perfectos conocidos son pares; aún no se sabe si existe un primo impar o si es posible. El matemático inglés James Joseph Sylvester escribió "... una meditación prolongada sobre el tema me ha convencido de que la existencia de cualquiera de estos [impar número perfecto] - se escapa, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo afectan por todas partes. "Sería poco menos que un milagro".

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Números felices

Algunos números son raros; los demás son felices. Si desea averiguar si un número dado está contento, deberá realizar el siguiente conjunto de operaciones. Tomemos el número 44:

Primero, cuadre cada dígito, luego agréguelos juntos:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Entonces, lo haremos de nuevo con nuestro nuevo número:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

Y otra vez:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Y finalmente:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! Es un número feliz. Cada vez que tome un número, realice este "procedimiento" y, finalmente, llegue al número 1, tendrá un número feliz. Si tu número nunca llega a 1, lamentablemente es infeliz. Curiosamente, los números felices son extremadamente comunes; Hay 11 de ellos entre 1 y 50, por ejemplo.

Como nota final, el mayor número feliz sin dígitos recurrentes es 986,543,210. Ese es un número feliz de hecho.

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Números narcisistas

Los números narcisistas, también conocidos como números de Armstrong o "invariantes digitales perfectos", son números que escuchan atentamente y son iguales a la suma de cada uno de sus dígitos cuando esos dígitos se elevan a la potencia de la CANTIDAD de dígitos en el número.

De acuerdo. ¿Qué? Tomemos un ejemplo de los cuatro cubos narcisistas existentes:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

En estos casos, cada dígito está en cubos porque hay tres dígitos en el número. Luego, esos números en cubos se suman para producir una suma igual al número original. No hay números narcisistas de 1 dígito, ni números de 12 o 13 dígitos; Los dos de 39 dígitos son:

115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

El matemático inglés GH Hardy reconoció la frivolidad de tales números al proclamar en su libro "La disculpa del matemático" que "Estos son hechos extraños, muy adecuados para columnas de rompecabezas y para divertir a los aficionados, pero no hay nada en ellos que apela al matemático. ”

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Repdigits y repunits

Un repdigit es un número natural con un dígito que se repite; de hecho, el nombre proviene del término "dígito repetido". El redigito más famoso es el llamado "Número de Bestia" 666, un símbolo común del anticristo o de Satanás. Una repunit, entonces, es un repdigit que solo usa el número 1; Las repeticiones aparecen con frecuencia en código binario y se relacionan con el más famoso de los números primos, Mersenne Primes. Se ha conjeturado que hay un número infinito de números primos de repunidad, por lo que si desea intentar probarlo, hágalo a su gusto.