Top 10 cosas desconocidas

Hay muchas cosas que no sabemos; Personalmente soy una verdadera cornucopia de la ignorancia. Pero hay una diferencia entre cosas que no sabemos y cosas que no se pueden saber. Por ejemplo, nadie sabe cuándo nació Shakespeare (aunque sí sabemos cuándo fue bautizado). Sin embargo, no es imposible que en el futuro podamos descubrirlo: se puede encontrar un documento perdido hace mucho tiempo que menciona su nacimiento, por lo que la verdadera fecha de nacimiento de Shakespeare no es incognoscible, solo se desconoce. Esta lista contiene 10 cosas que son incognoscibles en principio. No solo son desconocidos ahora, nunca pueden ser conocidos.

La mayoría de estos son matemáticos; He tratado de hacerlo lo menos técnico posible, aparte de todo lo demás, no soy matemático, así que he tratado de hacerlo lo suficiente para poder entenderlo.

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Conjuntos y más conjuntos

Cosa incognoscible: ¿Qué hay en un conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos?

¡Tenemos que hacer un poco de matemáticas para varios de estos elementos! Este es el primero en la lista porque, en cierto sentido, el concepto de "incognoscible" comienza con esta paradoja descubierta por Bertrand Russell en 1901.

Vamos a empezar con la idea de un conjunto. Un conjunto es una colección de objetos; por ejemplo, podría tener el conjunto de números pares positivos que contengan 2, 4, 6, 8 ... o el conjunto de números primos que contengan 2, 3, 5, 7, 11 ... hasta ahora bueno.

¿Los conjuntos pueden contener otros conjuntos? Sí, no hay problema, podría tener un conjunto de conjuntos que contienen otros conjuntos, y ese conjunto, obviamente, se contendrá. De hecho, puede dividir los conjuntos en dos tipos: los que se contienen a sí mismos y los que no.

Entonces, considera un conjunto (S, por ejemplo) de conjuntos que no se contienen a sí mismos. ¿Se contiene S? Si lo hace, entonces no debería estar en el conjunto, pero si no lo hace, entonces debería. Así que S está continuamente saltando dentro y fuera de sí mismo.

Esta paradoja causó bastante consternación entre los matemáticos. Imagina a alguien que demuestre que un número puede ser parejo e impar. Al mismo tiempo, es preocupante. Se han logrado maneras de sortear la paradoja, esencialmente redefiniendo la teoría de conjuntos.

9

Número de graham

Se ha dicho que el problema con la percepción que las personas tienen del universo es que nuestros cerebros solo están acostumbrados a tratar con números pequeños, distancias cortas y breves períodos de tiempo. El número de Graham es lo suficientemente grande como para hacer que los cerebros de la mayoría de las personas empeoren; es realmente grande; Para ponerlo en contexto, veamos algunos de los llamados grandes números:

La mayoría de las personas han oído hablar de un googol; para la mayoría de los propósitos es un número grande: 10 ^ 100, que es 1 seguido de 100 ceros.

Hay números mucho más grandes por ahí sin embargo; un googolplex es 1 seguido de ceros de googol y el matemático Stanley Skewes ha definido números mucho más grandes que un googolplex.

Para poner esto en contexto, el más pequeño de ellos (el googol) es todavía mucho más grande que el número de partículas en el universo (alrededor de 10 ^ 87).

Sin embargo, el número de Graham hace que estos "pequeños" salgan del suelo; fue utilizado por Ronald Graham en su incomprensible trabajo (sobre mí) en hipercubos multidimensionales (es el límite superior de una de las soluciones). Basta con decir que es mucho más grande que los números de Skewes y, de hecho, el universo no es lo suficientemente grande como para almacenar la versión impresa. Incluso si cada dígito fuera del tamaño de un electrón. Ni siquiera cerca.

Lo verdaderamente maravilloso del número de Graham es que es posible calcular los últimos dígitos y sabemos que termina en un 7.

8

Entero más pequeño

Cosa incognoscible: ¿Cuál es el entero positivo más pequeño que no se puede definir en menos de once palabras?

Este es un problema en la filosofía de las matemáticas. Solo para aclarar un poco las cosas: un entero es un número entero (1, 2, 3, etc.), y para los enteros más pequeños, es fácil definirlos con palabras:

“El cuadrado de 2” = 4
“Uno más de 4” = 5

… y así. Ahora, como un experimento mental, considera cuántas oraciones de once palabras hay, obviamente hay muchas; pero solo hay un número finito de palabras (alrededor de 750,000 en inglés), así que solo hay un número finito de oraciones de once palabras; en algún momento, se agotaría y habría un número entero que no podría definir. Excepto, "El entero positivo más pequeño no se puede definir en menos de once palabras" solo contiene diez palabras, por lo que puede definirlo en menos de once palabras.

Esto se llama la paradoja de Berry y, de hecho, es una especie de "juego de manos" con el lenguaje: estamos pasando sutilmente de nombrar números a describirlos, ¡pero aún así nadie puede dar con ese número!

7

Software

Una cosa incognoscible: ¿Se detendrá un programa de computadora?

Cuando asistí a las clases de Matemáticas Puras en la escuela, fue una queja común que lo que estábamos aprendiendo era "inútil". Desafortunadamente, el profesor simplemente respondió con "usted está aprendiendo esto porque está en el programa de estudios". El problema de Turing Halting suena Como un grado-A inútil, totalmente académico, pérdida de tiempo. Salvo que llevó al desarrollo de las computadoras digitales.

Alan Turing era un matemático inglés y un niño prodigio, particularmente en matemáticas. Su trabajo en máquinas de computación fue completamente teórico al principio; estaba trabajando en la idea de describir enunciados matemáticos de forma totalmente numérica para que pudieran ser procesados ​​por una máquina de computación teórica. Pensó en el concepto de una máquina de computación de propósito general (ahora llamada Máquina de Turing) como un experimento mental: no imaginó que alguien realmente construyera una.

Razonó que un programa de computadora debe funcionar para siempre o detenerse.Demostró que es imposible determinar automáticamente qué sucederá. Sé que podría argumentar que podría “ejecutar el programa y ver qué sucede”, pero ¿suponiendo que solo se detenga después de 7 billones de años?

Un poco más sobre Turing: su línea de razonamiento es particularmente notable porque lo hizo en 1936, años antes de que se construyera la primera computadora digital. La Segunda Guerra Mundial comenzó en 1939, pero Turing había estado trabajando en el descifrado de códigos en Bletchley Park durante un año antes de eso; Tratando de descifrar el código enigma alemán. Estaba claro que un enfoque "manual" era demasiado lento y Turing especificó la primera máquina de decodificación (llamada Bombe), lo que llevó a Colossus, posiblemente la primera computadora digital programable que podía ejecutar automáticamente muchas de las "claves" posibles. Su trabajo Fue tan importante descifrar que mucho se mantuvo en secreto mucho después de que terminó la guerra; Algunos solo se publicaron este año, 60 años después de que fue escrito.

6

No computa

Cosa incognoscible: hay números que no se pueden calcular.

Esta es otra mentalidad probada por Alan Turing. Para empezar, hay más de un "infinito". Por ejemplo, ¿cuántos números enteros positivos hay? Pues, hay infinito - nunca se detienen. ¿Cuántos números pares y positivos hay? Lo mismo: si duplica un número entero positivo, obtendrá un número par correspondiente, por lo que debe haber el mismo número.

Bien, ¿cuántos números reales hay? Los números reales incluyen todas las fracciones, números irracionales (como pi) y números enteros (positivos o negativos). Bueno, hay mucho más que números enteros; entre cada número entero, hay un número infinito de números reales; por lo tanto, el número de números reales es un infinito mucho más grande que el número de números enteros.

Con este concepto firmemente en su lugar; Puedes razonar así:

Supongamos que comienza a escribir programas de computadora para generar números reales, uno para cada número real.

Cuentan cada programa; el primero es "1", el segundo, "2" y así sucesivamente: a medida que cuenta, utiliza los números enteros positivos.

El problema es que, aunque está contento de escribir un número infinito de programas, ese infinito es mucho más pequeño que el número infinito de números reales, por lo que deben faltar muchos números reales (de hecho, la mayoría), eso no puede ser. calculado.

5

¿Verdadero o falso?

Cosa incognoscible: En matemáticas, hay cosas verdaderas que no se pueden probar como verdaderas, y no sabemos qué son.

Este teorema que duele el cerebro fue desarrollado por Kurt Gödel. El concepto se remonta a 1900, cuando David Gilbert propuso 23 "problemas" en matemáticas que le gustaría ver resueltos en el próximo siglo. Un problema fue probar que las matemáticas eran consistentes, lo que sería muy agradable saber. Sin embargo, en 1901, Gödel sopló eso fuera del agua con su teorema de incompletitud: no analizaré el teorema en detalle aquí, en parte porque no entiendo todos los detalles, sino principalmente porque me tomó tres conferencias separadas antes. Incluso sentí que estaba llegando, así que si estás interesado: ¡Wikipedia es tu amigo!

En resumen, el teorema muestra que no se puede demostrar que las matemáticas sean consistentes usando solo matemáticas (tendrías que usar un "meta-lenguaje"). Además, también demostró que hay cosas verdaderas en matemáticas que no se pueden probar como verdaderas.

Cuando aprendí el teorema, se sugirió que el famoso último teorema de Fermat podría ser una "cosa verdadera que no puede probarse como verdadera", pero que se echó a perder como ejemplo cuando Andrew Wiles lo demostró en 1995. Sin embargo, aquí Hay un par de cosas que pueden ser ciertas, pero no demostrables:

"No hay un número impar perfecto".

Un número perfecto es un número entero positivo cuyos divisores se suman a sí mismos. Por ejemplo, 6 es un número perfecto: 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 es el siguiente número perfecto. Los números perfectos ocurren raramente y hasta ahora solo se han encontrado 41 números perfectos. Nadie sabe cuántos hay, ¡pero está entre 41 y el infinito!

Hasta ahora, todos los números perfectos han sido parejos, pero, de nuevo, nadie sabe si todavía hay uno extraño, pero si hay uno es un número muy grande; más grande que 10 ^ 1500 - (1 con 1500 ceros después de él).

"Cada número par es la suma de dos números primos".

Un número primo solo es divisible por sí mismo o 1 y es un hecho curioso que, hasta ahora, cada número par que ha sido probado es la suma de dos, por ejemplo: 8 = 5 + 3 o 82 = 51 + 31. Nuevamente , se sabe que es cierto para muchos números (hasta alrededor de 10 ^ 17) y también se sabe que cuanto más alto es un número, más probabilidades hay de que sea un número primo, por lo que parece más probable cuanto más alto sea. pero ¿quién puede decir que no hay un número par realmente grande allí donde no sea cierto?

4

¿Qué es verdad, hombre?

Aún en el mundo de la probabilidad, llegamos al teorema de la indefinibilidad de Tarksi, pero para tentar, aquí hay algo sobre el fondo de Tarksi.

Era hijo de padres judíos nacidos en la Polonia de antes de la guerra, y tuvo mucha suerte. Nació Alfred Teitelbaum en 1901. Hubo un antisemitismo generalizado en la Polonia de antes de la guerra y en 1923 Alfred y su hermano cambiaron su apellido a "Tarski", un nombre que inventaron porque "sonaba más polaco". También cambiaron de religión. de judío a católico romano, aunque Alfred era en realidad un ateo.

A fines de la década de 1930, Tarski solicitó varias cátedras en Polonia, pero fue rechazado, por suerte, según resultó. En 1939 fue invitado a asistir a una conferencia en Estados Unidos a la que probablemente no habría asistido si recientemente hubiera tomado una cátedra.Tarski tomó el último barco para salir de Polonia antes de la invasión alemana el mes siguiente. No pensó que estaba "escapando" de Polonia; dejó a sus hijos atrás pensando que volvería pronto. Sus hijos sobrevivieron a la guerra y se reunieron en 1946, aunque la mayor parte de su familia extensa fue asesinada por los ocupantes alemanes.

De vuelta al teorema: Tarski demostró que la verdad aritmética no se puede definir en aritmética. También extendió esto a cualquier sistema formal; La "verdad" para ese sistema no se puede definir dentro del sistema.

Es posible definir la verdad para un sistema en un sistema más fuerte; pero, por supuesto, no puede definir la verdad en ese sistema más fuerte, tendría que pasar a un sistema aún más fuerte, y así sucesivamente, buscar indefinidamente la verdad inalcanzable.

3

Detalles de la partícula

Cosa incognoscible: ¿Dónde está esa partícula y qué tan rápido va?

Abandonamos el mundo de las matemáticas que nos duele el cerebro, pero, por desgracia, entramos en el mundo aún más impresionante de la física cuántica. El principio de incertidumbre surgió al estudiar las partículas subatómicas y cambió la forma en que vemos el universo. Cuando estaba en la escuela, nos enseñaron que un átomo era como un mini sistema solar con un núcleo similar al Sol en el medio con electrones en órbita, y los electrones eran como pequeñas canicas.

Eso está muy mal, y uno de los descubrimientos clave en el camino para demostrar que era el principio de incertidumbre de Heisenberg. Werner Heisenberg fue un físico teórico alemán que trabajó estrechamente con el físico danés Niels Bohr en la década de 1920. El razonamiento de Heisenberg es así:

¿Cómo puedo saber dónde está una partícula? Tengo que mirarlo, y para mirarlo tengo que iluminarlo. Para iluminarlo, tengo que dispararle fotones, cuando un fotón golpea la partícula, los fotones moverán la partícula, así que al tratar de medir su posición, cambio su posición.

Técnicamente, el principio dice que no se puede conocer la posición y el impulso de una partícula simultáneamente. Esto es similar, pero no es lo mismo que el efecto "observador" en la experimentación donde hay algunos experimentos cuyos resultados cambian según la forma en que se observan. El principio de incertidumbre tiene una base matemática mucho más firme y, como mencioné, cambió la forma en que se ve el universo (o cómo se ve el universo de lo muy pequeño). Los electrones ahora se consideran funciones de probabilidad en lugar de partículas; podemos calcular dónde es probable que estén, pero no dónde están, en realidad podrían estar en cualquier lugar.

El principio de incertidumbre fue bastante controvertido cuando se anunció; Einstein dijo que "Dios no juega a los dados con el universo", y fue en esta época que comenzó la división en la física que separaba la mecánica cuántica, que estudia lo muy pequeño y la macro física que estudia los objetos y fuerzas más grandes. Esa división aún está por resolverse.

2

La constante de Chaitin

La constante de Chaitin es un ejemplo de lo que parece normal y sensible para un matemático, pero suena loco para el resto de nosotros. La constante de Chaitin es la probabilidad de que un programa de computadora aleatorio se detenga. Lo que es una locura (en realidad, una de las pocas cosas), es que hay una constante diferente para cada programa, por lo que hay una cantidad infinita de valores para esta "constante", que generalmente se muestra como un omega griego (Ω) . La otra cosa un poco loca de esto es que no es posible determinar qué es it's, es un número indiscutible, lo que es una verdadera vergüenza, si pudiéramos calcular Ω, se ha demostrado que la mayoría de los problemas no probados en matemáticas podrían ser probados ( o refutado).

1

Desconocido desconocido

Hasta ahora, hemos descrito cosas que sabemos que son incognoscibles (si eso tiene sentido). Sin embargo, el elemento final describe cosas que podrían ser ciertas pero que no se pueden conocer. Podría pensar que me costaría encontrar un ejemplo, pero considere lo siguiente:

Vivimos en un universo en expansión; cuando miramos otras galaxias, se están alejando de nosotros y acelerando. Ahora, en un futuro lejano (alrededor de 2 billones de años a partir de ahora) todas las demás galaxias estarán tan lejos que no serán observables (técnicamente, se moverán tan rápido que la luz se estirará en rayos gamma con longitudes de onda más largas que el universo son anchas). Entonces, si fueras un astrónomo en 2 billones de años, no habría forma de saber que había miles de millones de otras galaxias en el universo, y si alguien lo sugiriera, te reirías burlonamente y dirías "muéstrame la evidencia; no tienes nada."

Entonces, teniendo esto en cuenta, vuelva al presente: puede haber cosas verdaderas sobre el universo que nunca podremos saber. ¡Trago!

+

Aburrido…

Cosa incognoscible: ¿Hay personas poco interesantes?

Es bastante fácil argumentar que no hay personas desinteresadas:

Considera hacer una lista de personas sin interés; una de esas personas será la más joven, y ser la persona sin interés más joven es, en sí misma, interesante, por lo que debe ser eliminada de la lista. Ahora hay una nueva persona sin interés más joven, y también se pueden eliminar de la lista, y así sucesivamente, hasta que la lista esté vacía. Entonces, si te encuentras con alguien que crees que no es interesante, debes haberlo entendido mal.