10 hechos del extraño mundo de las matemáticas infinitas

A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor descubrió las matemáticas "transfinitas", o las matemáticas más allá del infinito. Con este trabajo inicial, fuimos introducidos en un mundo donde hay números más grandes que el infinito y ecuaciones que no siguen las reglas de sentido común de la aritmética. Basta con decir que probablemente no sea lo que aprendiste en la escuela secundaria.

El trabajo de Cantor fue inicialmente controvertido y fue atacado vitrióticamente por algunas de las figuras matemáticas más importantes de su época. Sin embargo, gradualmente fue aceptado como canon y ha ayudado a allanar el camino para la teoría de conjuntos, que en sí misma es un soporte potencial para todas las matemáticas.

10 Infinito más uno (o dos, o infinito) es igual a infinito

Resulta que este viejo adagio de la infancia tiene algo que ver con eso. Dada la naturaleza del infinito, cualquier número sumado, sustraído, multiplicado por, o dividido por él es igual al infinito. Esto se ve en un rompecabezas infinito clásico conocido como la paradoja del hotel de Hilbert:

Hay un hotel que tiene un número infinito de habitaciones. Un viajero cansado llega y solicita una habitación, pero se le informa que todas las habitaciones están ocupadas. ¿Cómo puede el hotel no tener más habitaciones, ya que tiene infinitas habitaciones? ¿Qué debe hacer el viajero?

La respuesta es que el viajero debe solicitar que la persona en la habitación uno se mueva a la habitación dos, la persona que está en la habitación dos se mueva a la habitación tres y así sucesivamente ... y ella tome la habitación uno. El infinito es infinitamente elástico y puede expandirse o reducirse de cualquier manera para adaptarse a lo que necesite, ya sea un viajero o un viajero de googolplex (sí, ese es un número real).

9 Hay tantos números impares (y tantos números que terminan en 123 o 423) como hay números

El infinito es tan maleable porque, como el hotel de Hilbert, cualquier serie de números infinitos se puede incluir en lo que se denomina una "correspondencia uno a uno" con cualquier parte infinita de esa serie. En términos laicos, eso significa que si toma todos los números enteros positivos (0, 1, 2, 3, 4 ...) y todos los números pares positivos (0, 2, 4, 6, 8 ...), cada uno de los números enteros puede ser emparejado con un número par. Por lo tanto, el cero se puede hacer coincidir con el cero, uno se puede hacer coincidir con dos, dos se pueden emparejar con cuatro, y así sucesivamente.

Dado que las dos series (o "conjuntos") de números coinciden con cada número, estamos justificados al decir que son del mismo tamaño. Llamado la paradoja de Galileo por su famoso descubridor, este experimento mental muestra que el tamaño del infinito no se puede cambiar utilizando las herramientas en bruto de la aritmética básica como la división o la suma de números finitos. Para eso, necesitas algo más sofisticado.

8 Algunos infinitos son más grandes que otros

La otra cara de la correspondencia uno a uno es que si hay una serie infinita de números que aún tienen números que quedan después de haber sido combinados con otra serie infinita, entonces podemos decir que la primera serie de infinitos es en realidad más grande que El infinito con el que fue emparejado. Esto puede parecer imposible, pero probablemente pueda captar intuitivamente un caso en el que esto sea cierto: el número infinito de números enteros (0, 1, 2, 3 ...) es más pequeño que el número infinito de números irracionales. Si recuerdas las matemáticas de la escuela secundaria, los números irracionales son números como pi que tienen una serie de decimales que duran para siempre (3.1415 ...). Cantor demostró que el número infinito de números irracionales es mayor que el número infinito de números enteros usando un truco ingenioso pero simple (en relación con la mayoría de las pruebas matemáticas innovadoras).

Comenzó asumiendo que los números irracionales podían combinarse con números enteros y anotó una serie de números entre cero y uno. (De acuerdo, estos son mis propios números aleatorios al combinar el teclado, pero entiendes el punto). Hay un número infinito de estas filas:

0.1435… emparejado con 0
0.7683… emparejado con 1
0.1982… emparejado con 2
0.9837… emparejado con 3

Y así. Luego, puede crear un número de esta serie tomando el primer dígito en la primera línea, el segundo dígito en la segunda línea, y así sucesivamente; para los números de arriba, esto sería 0.1687 ...

Ahora, podría haber un número de 0.1687 ... en algún lugar de esta pila de números. Sin embargo, si agrega uno a cada uno de los dígitos, entonces el número se convierte en 0.2798 ... y este número no puede estar en la pila, ya que es, por definición, diferente de cualquiera de los números en la pila por al menos un dígito. Por lo tanto, todavía quedan números irracionales después de tratar de compararlos con números enteros normales. Por lo tanto, podemos decir que el número infinito de números irracionales es mayor que el número infinito de números enteros.

Si crees que es una locura, agárrate a tu sombrero ...

7 Hay infinitos niveles de infinidades

Cantor también mostró que, al igual que el número de números enteros infinitos se encuentra en un nivel de infinito completamente diferente al número de números irracionales, también hay un tipo de infinito que es mayor que el número de números irracionales, un nivel de infinito superior eso, otro por encima de eso, y así sucesivamente, hasta (lo adivinaste) infinito. Además, cualquier nivel de infinito agregado a un nivel más alto de infinito se suma automáticamente al nivel más alto de infinito de la misma manera que el infinito más uno es infinito.

los Reader's Digest La versión de por qué este es el caso es que puede tomar una serie infinita de números (por ejemplo, 0, 1, 2, 3 ...) y luego hacer una serie infinita más grande tomando el número de todas las diferentes combinaciones posibles de Números en la serie original. En matemáticas, esto se llama un conjunto de poder.Entonces, para todos los números, el conjunto de potencias incluiría no solo 1, 2, 3 ... sino también cada combinación de números en esa serie infinita de números que incluyen 1 billón y 1, 2, 13, 2 millones ... etc. Una vez que haya hizo su primer conjunto de energía, no hay ninguna razón por la que no pueda crear un conjunto de potencia del conjunto de potencia, o un conjunto de potencia de un conjunto de potencia de un conjunto de potencia de un conjunto de potencia ...

6 Todo esto finalmente condujo a Georg Cantor loco

Como puede imaginar, detenerse demasiado en todo esto puede influir en su sentido de la realidad, y eso es exactamente lo que le sucedió a su descubridor. Cantor creía que el "siguiente" nivel de infinito después de los números enteros era el número de números irracionales; El único problema era que no podía probarlo.

Este famoso problema matemático, etiquetado como la hipótesis del continuo (eventualmente comenzó a decir que Dios le reveló que la hipótesis del continuo era verdadera), combinado con los ataques viciosos sobre su trabajo, eventualmente lo llevó a un colapso psicológico, y pasó el resto de sus días dentro y fuera de los hospitales mientras trataba de probar que Francis Bacon escribió las obras de Shakespeare.

5 El problema que condujo a Cantor Insane no tiene solución

Algunas personas han tratado de proporcionar una base rigurosa para las matemáticas mediante el uso de una serie de axiomas o declaraciones que supuestamente son tan sensatas que se puede confiar en ellas sin ninguna explicación previa. (Por ejemplo, uno no puede ser igual a dos. ¿Por qué? ¡Porque!)

En la década de 1960, el matemático Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo no puede resolverse si suponemos que los axiomas más utilizados son los verdaderos. Sin embargo, hasta el día de hoy, el trabajo matemático continúa haciéndose bajo el supuesto de que los axiomas son verdaderos y que la hipótesis del continuo es falsa, así como el supuesto inverso de que los axiomas convencionales son verdaderos, así como la hipótesis del continuo. Los matemáticos consideran que los diferentes supuestos sobre la hipótesis del continuo pertenecen a diferentes "universos matemáticos", ya que no podemos probar que uno u otro sea verdadero.

4 El símbolo para el infinito que Cantor eligió es una letra hebrea

Al igual que los astrónomos y los biólogos, los matemáticos que descubren algún concepto nuevo o valor importante pueden tener al menos algún aporte sobre cómo se llamará. Dado ese tipo de poder, pensarías que hoy habría más personajes Klingon en matemáticas de alto nivel, pero no. Por más creativos que sean los matemáticos, casi ninguno de ellos quiere desviarse de los símbolos griegos muy convencionales, por lo que diferentes letras griegas pueden significar tantas cosas diferentes según la rama de las matemáticas que esté utilizando: simplemente tenemos muchas más constantes matemáticas. y conceptos que las letras griegas.

Mientras su historia religiosa aún es debatida por los historiadores, Cantor vio lo que estaba haciendo como una forma de acercarse a lo divino a través de las matemáticas, por lo que decidió que los diferentes niveles del infinito serían simbolizados por la primera letra del alfabeto hebreo: aleph. El conjunto de todos los números enteros sería aleph-nne, o aleph con un subíndice cero. El siguiente infinito más alto sería aleph-one, que, como hemos mencionado, puede o no ser el número de números irracionales.

3 Hay un nivel de infinito en el que infinito más uno no es igual a uno más infinito

Además de los números de aleph, Cantor también creó números omega. El primer número omega se define como el número más pequeño que es mayor que el número de números enteros, o el primer número después de nada. Para volver a dibujar en el ejemplo del hotel de Hilbert, si el número de habitaciones no es para nada, entonces el primer número omega es una choza fuera del hotel. El siguiente número omega después de eso es simplemente omega más uno. Sin embargo, lo que esto significa es que one plus omega es diferente de omega plus one, ya que el de omega sería simplemente absorbido por omega (ya que el infinito es maleable), mientras que el de omega representa el siguiente paso.

Desafortunadamente, comprender una prueba más técnica de esto reemplaza las habilidades del intelecto de tu humilde autor, pero lo leí en un libro, así que tiene que ser verdad.

2 Infinito menos Infinito no es igual a cero

El infinito menos el infinito no está definido de la misma manera que la división por cero no está definida.

Para dar un ejemplo de por qué esto es así, ya que infinito más uno es infinito ([infinito + 1] = [infinito]), si restamos el infinito de ambos lados, nos quedamos con 1 = 0. De manera similar, y para muchos de los Por las mismas razones, el infinito dividido por el infinito no es uno sino que también está indefinido.

1 Esto realmente tiene aplicaciones científicas del mundo real

Al igual que muchas otras áreas de las matemáticas, se descubrió que lo que comenzó como un experimento de pensamiento puramente teórico tiene implicaciones en las ciencias duras. Por ejemplo, algunas ecuaciones de la mecánica cuántica suman infinito; en la práctica, los físicos modifican la ecuación para hacer que los cálculos sean factibles, pero no está claro si se justifica hacerlo, dado lo que sabemos sobre las matemáticas transfinitas.

En cosmología, si el universo es infinitamente grande, el espacio es infinitamente divisible, el universo se expandirá para siempre, o si hay universos infinitos, todas son preguntas abiertas que se basan en la lógica infinita. Algunos investigadores incluso han encontrado aplicaciones de la paradoja del hotel de Hilbert en óptica tanto cuántica como clásica.